Home / \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x

February 22, 2026

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \left(\frac{1}{4} \sin^2 2x\right) = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので、この式は次のように簡略化されます:
\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\sin^2 x \cos^2 x = \left(\frac{1}{2} \sin 2x\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 2x
$\sin^2 2x$ の範囲は $[0, 1]$ です。したがって、$\frac{1}{2} \sin^2 2x$ の最大値は $\frac{1}{2}$ であり、$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$ の最小値は、$\sin^2 2x = 1$ のときに達成されます:
- \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
したがって、$\sin^4 x + \cos^4 x$ の最小値は $\boxed{\frac{1}{2}}$ です。